Спецкурс «Основные понятия и алгоритмы группового анализа дифференциальных уравнений»
к.ф.-м.н, доцент В.Ф. Душин, д.ф.-м.н, профессор, Н.Н. Смирнов
Групповым свойством системы дифференциальных уравнений S называется свойство этой системы оставаться неизменной, когда зависимые и независимые переменные подвергаются преобразованиям некоторой группы преобразований G. Если это свойство имеет место, то говорят, что система S допускает группу G (или говорят, что S инвариантна относительно группы G ). Значение группового свойства для интегрирования системы S обусловлено тем, что под действием преобразования из G любое решение системы S переходит снова в решение этой же системы. Это позволяет использовать групповое свойство для построения различных классов частных решений системы S, отыскание которых сводится к интегрированию более простых систем уравнений. Кроме того, групповое свойство является признаком, по которому можно осуществить определенную классификацию систем S.
Общая проблема исследования групповых свойств дифференциальных уравнений была поставлена и изучена во второй половине 19 века (1885-1895 гг. – основные публикации) норвежским математиком Софусом Ли. Само понятие непрерывной группы преобразований первоначально возникло у Ли в связи с изучением методов интегрирования отдельных классов обыкновенных дифференциальных уравнений. Ли и его учениками был разработан аналитический алгоритм и изучен широкий круг приложений теории непрерывных групп преобразований.
К сожалению, в дальнейшем этот раздел математики оказался забытым и остался в стороне от главных путей развития теории дифференциальных уравнений. Это было вызвано, по-видимому, следующими обстоятельствами: 1) «произвольная» система дифференциальных уравнений с частными производными не допускает никакой нетривиальной группы (не состоящей из одного тождественного преобразования); 2) хотя обыкновенные дифференциальные уравнения всегда допускают нетривиальную группу, задача отыскания этой группы оказывается равносильной задаче интегрирования самой системы; 3) вся теория Ли групповых свойств дифференциальных уравнений является, по существу, локальной теорией, неспособной непосредственно исследовать решения конкретных задач с произвольными дополнительными условиями. Эта теория изучает в основном только групповую структуру совокупности всех решений системы S в окрестности некоторой точки.
Однако в прикладных областях эта теория оказалась весьма плодотворной, т.е. многие дифференциальные уравнения конкретного вида допускают нетривиальную группу. Например, уравнения газовой динамики, уравнения гидродинамики (Эйлера, пограничного слоя, уравнения Навье - Стокса), уравнения теории упругости и пластичности, теории горения и детонации, магнитной гидродинамики и других прикладных физических теорий.
Трудность построения решений конкретных задач в этих теориях обусловлена главным образом либо нелинейностью уравнений, либо большим числом переменных (а чаще всего и тем и другим). Поэтому получили широкое распространение исследования, опирающиеся на знание отдельных классов частных решений. Например, «плоские» и «одномерные» (с различными видами симметрии) решения; решения типа «простых волн» в газовой динамике; функционально-инвариантные решения В. И. Смирнова и С. Л. Соболева для волновых уравнений; автомодельные решения уравнений гидродинамики и т. д.
В предложенных лекциях будут рассмотрены следующие основные задачи теории групповых свойств дифференциальных уравнений:
- Понятие групп Ли точечных преобразований. Понятие инфинитезимального оператора
групп Ли и соответствующий алгоритм Ли. Теорема Ли о восстановлении по инфинитезимальному оператору преобразований группы Ли в конечном виде. Теория продолжения точечных преобразований. Примеры конкретных преобразований и их продолжения. Инвариантные многообразия и критерии их инвариантности. Понятие основной группы, допускаемой системой дифференциальных уравнений, и системы определяющих уравнений для её вычисления (которые для части конкретных задач эффективно доводятся до конца). - Использование найденной группы G для системы дифференциальных уравнений S с целью построения классов частных решений этой системы (так называемых инвариантных и частично-инвариантных решений). Действия преобразований найденной группы G на множестве решений исследуемой системы дифференциальных уравнений S. Формулы производства решений.
- Групповая классификация системы дифференциальных уравнений S с произвольным элементом по отношению к этому произвольному элементу (где в качестве произвольного элемента может выступать, например, заранее неизвестный числовой параметр или же заранее неизвестная функция, как, например, градиент давления в правой части системы уравнений пограничного слоя).
Материалы: